На второй год пребывания Андерссона в "Эскильстуне" она продвинулась из второго шведского дивизиона в первый, но личный вклад Кеннета в этот успех был довольно скромен: всего два мяча в 19 играх.

В первой лиге его показатели начали расти: восемь мячей в 1987 году и десять - в 1988-м (оба сезона по 26 проведённых матчей). О его таланте заговорили всерьёз, и Андерссона завербовал один из сильнейших клубов страны "ИФК Гэтеборг". В 1989 году Кеннет дебютировал в высшем национальном дивизионе. И здесь цифры Андерссона шли по нарастающей: 7 мячей, затем 9, затем 13 (причём эти 13 - в 16 матчах первой половины чемпионата 1991 года).

В середине 1991 года в его карьере произошло очередное повышение: бельгийский "КВ Мехелен", куда годом ранее перешёл партнёр по "Гэтеборгу" Клас Ингессон, предложил ему неплохую зарплату. В сезоне 1991/92 его показатели составили 6 голов в 26 матчах. Не ахти как много, конечно, но тогдашний тренер сборной Швеции Томми Свенссон за неимением лучшего включил его в заявочный список для участия на Евро-1992 как запасного - дублёра для Мартина Далина или Томаса Бролина.

В стартовом матче с французами (1:1) он вышел за 16 минут до конца на замену Далину и ничем отметиться не успел. В последующих поединках с Данией (1:0) и Англией (2:1) Андерссон на поле не выходил, но на полуфинальный матч с Германией Свенссон неожиданно поставил его в стартовый состав. Вот тогда-то Кеннет и обратил впервые на себя внимание всей Европы, забив совершенно непостижимый гол. На 89-й минуте Ингессон направил в его адрес длинную высокую передачу, но по ситуации мяч должен был стать лёгкой добычей немецкого вратаря Бодо Илльгнера. Однако произошло нечто странное: Андерссон выпрыгнул выше рук голкипера и перебросил мяч через него в сетку. К тому времени шведы проигрывали 1:3, и их отставание сократилось до минимума. Но времени оставалось слишком мало, чтобы можно было надеяться на успех.

С того дня за Андерссоном закрепилась репутация "короля воздуха". В 90-х годах он практически не имел себе равных по игре на втором этаже, забивая порой мячи, по сложности исполнения сравнимые с тем, что он забил Илльгнеру. Имея столь грозную "голову", Кеннет, однако, не столь силён в игре на земле. В этом аспекте его, как и многих его соотечественников во все времена, часто подводит недостаточно высокая техника обращения с мячом.

Шведы стали третьими призёрами и на Чемпионате Мира 1994 года. К этому времени Кеннет уже завоевал себе место в основе сборной - в паре с Мартином Далином. Дуэт показал на финальном турнире отменную результативность - 9 мячей на двоих в семи матчах. На долю Далина пришлось 4, на долю Андерссона - 5 голов, всего на один меньше, чем у лучших снайперов мундиаля Олега Саленко и Христо Стоичкова.

В середине 90-х годов Андерссон скитался по европейским клубам, нигде не оседая надолго. В начале 1993 года он, потеряв результативность, вернулся из "Мехелена" на родину - в "ИФК Норрчэпинг", но всего на полгода. Летом того же года его купил французский "Лилль", в котором Кеннет забил за сезон 11 голов, проведя почти все матчи первенства. Следующий сезон, 1994/95, он провёл в той же стране, уже в клубе "Стад Малерб де Кан" (9 голов).

С 1995 по 2000 год Андерссон выступал в итальянской Серии А. Началось с "Бари", где вскоре после начала дебютного сезона "под ним" стал действовать старый друг Клас Ингессон, попавший в Италию "кружным путём" - через Голландию и Англию. Видимо, наличие рядом такого партнёра стало решающим и предопределило успешный дебют: Кеннету удалось с места в карьер утвердить себя в одном из самых сложных национальных чемпионатов. Он наколотил 12 мячей и стал одним из самых популярных игроков Серии А.

Далее Ингессон остался в "Бари", а Андерссон переехал в "Болонью", поднявшуюся в Серию А. Там в разное время его партнёрами были такие мастера, как Игорь Колыванов, Игорь Шалимов, Роберто Баджо, Джузеппе Синьори, а с 1998 года... Ингессон. Конкуренция в "Болонье" была высокой, но место Андерссона в основном составе никогда не подвергалось сомнению.

Летом 1999 года его непонятно зачем позвал к себе римский "Лацио", ведь у небесно-голубых и так наблюдался некоторый переизбыток нападающих. Андерссон прочно сел на скамейку, лишь пару раз выйдя на поле. В то же время вскоре после начала сезона в "Болонье" получил тяжёлую травму форвард Никола Вентола, и остро встал вопрос о том, кем его заменить. Наилучшим выходом из этой ситуации было возвращение Андерссона из Рима. Ни сам игрок, ни заинтересованные клубы не противились возвращению, и оно состоялось.

Забив в том сезоне за "Болонью" 7 голов, Кеннет принял участие в Чемпионате Европы-2000, но "Тре Крунур" выступили неудачно. По ходу Евро в июне Андерссоном интересовался марсэйский "Олимпик", но cо следующего сезона наш герой начал защищать цвета турецкого "Фенербахче", действуя в тройке с Хаимом Ревиво и Миланом Рапаичем, и забив 11 мячей в 29 играх тамошнего чемпионата. При этом нередко Кеннет выступал и на позиции полузащитника. По ходу того сезона бронзовый призёр ЧМ-1994 заметил, что выступление за стамбульский клуб стало бы неплохой итоговой точкой в его карьере. "Я сыграл ещё не так много матчей за "Фенербахче", поэтому со здешним спортивным менталитетом ещё предстоит познакомиться поближе. Могу лишь сказать, что здесь живут настоящие фанаты, которые отчаянно поддерживают нас. А ведь это очень важно", - отметил футболиcт.