В 10 лет Тони перешёл в клуб "Gidea Park R". Именно с этой командой он впервые в жизни выехал за рубеж, в Испанию на ежегодный турнир "Лэйзер Кап", но, к сожалению, его команда проиграла в полуфинале, а вот Эдамс был признал лучшим игроком турнира. После этого турнира Тони предложили перейти в футбольную школу "Дэгенхэм", и Эдамс стал выступать за клуб "Дэгенхэм Юнайтед". Поиграв здесь два года, в ноябре 1980-го Эдамс приезжает в лондонский "Арсенал".

Тренера "Арсенала" сразу заметили то, что Тони блестяще видит поле и читает игру, что его передачи очень идеальны и выверены, и то, что он умеет подключаться к атакам и в трудные моменты потянет клуб за собой. И ещё большой плюс Эдамса - игра головой и вообще борьба в воздухе: в прыжке Эдамс умел выставлять локти вперёд, что позволяло ему выиграть позицию, не нанести травму и не вызвать судейский свисток. 30 января 1984 года Эдамс приобрёл статус профессионала. Вот с тех пор Эдамс и играл в "Арсенале" на профессиональном уровне. В сезоне 1986-87 он забивает аж 6 голов в чемпионате.

Всю жизнь он был верен "Арсеналу", и с марта 1988 года Тони стал надевать на матчи капитанскую повязку. С 1994 года он стал проводить в целом меньше матчей за клуб, мешали травмы и другие проблемы. В 2002-м Эдамс завершил карьеру, выиграв больше английских титулов, чем каждый в "Арсенале" последних лет, и проведя 66 матчей и забив 5 голов за сборную Англии. Если бы Эдамс стал тренером канониров, то он был бы, наверное, более любим фанами, чем даже Арсен Ванже.